微积分甲(Ⅱ) 24-25学年期中题

#微积分 #历年卷

1. 在 $\mathrm{△}ABC$ 中，角 $\mathrm{\angle }C={90}^{\circ }$，边 $BC,CA,AB$ 的长分别为 $a,b,c$. 用向量方法证明勾股定理：$c^2=a^2+b^2$.

2. 平行四边形 $ABCD$ 中两邻边 $BC,CD$ 的中点分别为 $E,F$，向量 $\overrightarrow{AE}=\mathbf{i}-3\mathbf{j}+2\mathbf{k},\overrightarrow{AF}=5\mathbf{i}+2\mathbf{j}+3\mathbf{k}$，求平行四边形 $ABCD$ 的面积.

3. 设直线 $L_1:\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{1},L_2:\frac{x+4}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-4}{3}$，试求与直线 $L_1,L_2$ 都垂直且相交的直线方程.

4. 求直线 $l:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ 在平面 $\pi :x-y+2z-1=0$ 上的投影直线 $l_0$ 的方程，并求直线 $l_0$ 绕 $y$ 轴一圈所成曲面的方程.

5. 设 $z=yf(xy,x-y)+g(x+y)$，其中函数 $f$ 有二阶连续偏导数，$g$ 有二阶导数，求 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}$.

6. 设 $z=z(x,y)$ 是由方程 $y{z}^3-x{z}^4+z^5=1$ 所确定的隐函数，求 ${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(0,0)},\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}{|}_{(0,0)}}$.

7. 叙述函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处可微的定义，并研究函数 $f(x,y)=\sqrt{|xy|}$ 在原点处的可微性.

8. 若变换 $\{\begin{array}{l}u=x+ay\\ v=x+by\end{array}$ 可将微分方程 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+4\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}+3\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0}$ 简化为关于 $u,v$ 的微分方程 ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial u\partial v}=0}$，其中 $z$ 有二阶连续偏导数。求常数 $a,b$ 的值.

9. 求幂级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{2^n}{\sqrt{n}}{(x-\frac{1}{2})}^n}$ 的收敛半径与收敛域.

10. 将函数 $f(x)=x\arctan x-\ln \sqrt{1+x^2}$ 展开成关于 $x$ 的幂级数.

11. 将函数 $f(x)=\cos x(0\le x\le \pi )$ 展开成正弦级数.

12. 已知 ${\displaystyle a_n={\int }_{(n-1)\pi }^{n\pi }{e}^{-x}\sin x\mathrm{d}x(n\in {\mathbb{N}}_{+})}$，证明：级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n}$ 收敛并求该级数的和.

13. 若 $0<u_n<1(n\in {\mathbb{N}}_{+})$，且 ${\displaystyle \underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln u_n}{\ln n}=q}$，其中 $q$ 为实常数.
证明：(1) 当 $q<-1$ 时，级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 收敛； (2) 当 $q>-1$ 时，级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{u}_n}$ 发散.